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- 단위환산(Unit Conversion) 현실세계를 수학적 식으로 모델링하는데 가장 중요한 것은 현실세계를 관찰하는 물리적 이론이다.
과학사에서 완결된 물리이론이라고 할 수 있는 것은 크게 다섯 가지 예를 들 수 있는데, 뉴턴역학, 열역학, 전자기학, 상대성이론, 양자역학이 있다.
우리는 이런 물리법칙을 돋보기로 삼아 현실을 더 쉽게 관찰하고 분석할 수 있다.
위에 열거한 각각의 물리법칙은 관찰하려는 현상을 특정 물리량으로 나타내며, 그 법칙에서 가장 간단한 식, 뉴턴역학을 예로 들면 F=ma 와 같은 식을 통해 자연현상을 정의한다.
- F=ma와 같은 방정식은 각 항의 단위가 일치해야 하는데 이를 차원의 균일성(Dimensional homogeneity)이라고 한다.
어떤 자연현상을 관찰하고 이를 물리량으로 나타내며, 자명한 물리적 법칙으로 정의된 식에 대입할 때는 반드시 차원의 균일성을 생각해야 한다.
이때 차원의 균일성을 맞추는 방법이 ‘단위환산’이다.
- 정확히는 단위환산이란 같은 차원(dimension)의 물리량의 단위(unit)를 일치시키는 것을 의미한다.
예를 들어 길이(차원)에 대해 1cm+1m라고 하는 연산을 실시할 때에는 1m = 100cm를 이용하여 1cm+ 100cm = 101cm 이 때 우리는 cm라고 하는 유닛으로 통일하여 이 연산을 실시하게 되는 것이다.
앞의 예는 가장 좁은 의미에서의 단위 환산을 의미하며, 많은 경우 환산인자(Conversion Factor)를 이용해 같은 차원의 값뿐만 아니라 다른 차원의 물리량 간 전환을 하는데, 이 차원의 전환을 광의의 단위환산이라 할 수 있다.
정확하게는 차원환산이라고 해야 하지만, 이러한 용어는 없으므로 단위환산으로 대충 표현한다.
이게 맞는지 정확히는 모르겠다.
환산인자는 앞서 말한 것처럼 1 m = 100 cm 와 같이 서로 다른 단위의 관계를 이용해 사용할 수도 있고, 다른 차원에 대해서는 두 개의 물리량의 곱과 비율로 표현된 물리량을 사용할 수도 있다.
압력(p = m), 분자량(g)을 들 수 있다.
- 단순히 수학할 때는 학점을 제외하고 연산을 하는 경우가 많았지만 자연과학 또는 공학을 할 때는 수치만큼 혹은 더 중요한 것이 학점을 표현하기 때문에 학점 환산을 잘하는 것이 매우 중요하다.
- 2. 유효숫자(Significant Figures) 유효숫자는 예로 이해하는 것이 가장 좋다.
우선 유효숫자의 개수를 파악하고 덧셈과 뺄셈에 있어서의 유효숫자의 변화, 곱셈과 나눗셈을 실시할 때의 유효숫자의 변화에 대해 생각한다.
- 1 유효숫자의 개수 – ( )에 유효숫자를 표현 – 21(2), 24(2), 15(2), 125(3), 2(1), 102(3)와 같은 끝자리가 0이 아닌 정수의 유효숫자는 정수의 자릿수와 같다.
- 100(1), 200(1), 1000(1), 1200(2)과 같이 한 자릿수가 0으로 끝나는 수의 유효 숫자는 0이 연속해서 나오는 수 이전의 자리까지의 수의 수와 같다.
* 이 때 예외적으로 1000.(4)와 같이 소수점을 적어주면 소수점 이전에는 모두 유효숫자로 간주한다.
104.24(5), 15.00(4), 125.(3), 13.125(5)와 같이 소수점이 있는 경우는 정수부분의 자리+소수점 아랫자리 수의 합이 유효숫자 수이다.
- 유효숫자의 덧셈과 뺄셈 유효숫자가 다른 수에 대한 덧셈과 뺄셈의 연산은 정수간의 연산은 자릿수가 큰 쪽에 맞추고, 소수간의 연산에서는 소수점 아래의 자릿수가 적은 쪽에 맞춘다.
(더한다는 것은 기준이 되는 자리 아래에서 반올림한다는 의미이다.
) <정수 간 연산>-1500 + 35 = 1535 -> 1500 – 115 + 127 = 127 -> 127 + 123 + 10 = - 유효 숫자는 대학에서 과학을 처음 배우면 여러 과목에서 우선적으로 가르치는 개념이다.
그만큼 중요하기도 하지만 모든 문제에 적용하기에는 난해한 개념이다.
왜냐하면 특정 교과서나 문제는 이러한 유효숫자를 정확히 나타내는 반면 어떤 문제에서는 아무런 언급 없이 진짜 수, pure number라는 의미로 어떤 수치를 부여하는 경우가 종종 있기 때문이다.
예를 들어 1 mol의 산소 온도가 298 K이고 압력이 1 atm일 때 이상기체상태방정식에 의해 부피를 계산하면 V = 1 mol*0.0821 [atm*L Kmol]*298 K1 atm = 24.4658 L이 나오는데 이 때, 유효하지 않으면 유효하지 않다면 1 atm*298 K1 atm atm= 24.4658 L 이 때, 유효하지 않다면, 유효하지 않다면, 유효하지 않다면, LK1 이 때, 유효하지 않다라고 생각하여, 너무해? 결과물을 요구하게 돼 수가 귀엽다, 끔찍하다고 표현하는 것은 매우 비수학적인 말이지만 느낌만 이해해 주세요. 따라서, 유효 숫자는 연산에 대해 중요하지만, 어려운 개념은 아니기 때문에, 문제를 풀 때는 어느 정도 이성적 판단 하에 무시할 필요가 있다.
단, 실무에서는 여러 물리량을 측정할 경우 수치를 유효 숫자가 가장 적은 값으로 맞추는 과정을 반드시 거쳐야 한다.
- 3. 과학적 표기법(Scientific Notation)수의 연산에 있어서는 위 두가지 개념이 가장 중요하다.
앞의 두 가지와는 다소 성격이 다르지만 알아야 할 개념이 과학적 표기법이다.
과학적 표기방법은 수를 표기하는 방법이다.
이는가독성을위한방법으로숫자를표기할때10보다작고0보다큰범위로수를적고10의누승으로곱해서자리를표현하는방법이다.
예를 들면 이하와 같다.
- 1315(4) = 1.315*10^3- 135.13(5)= 1.3513*10^2- 2700(2) = 2.7*10^2